作由曲线y=x²-1，直线y=x+1及y轴所围成的图形并求该图形的面积．

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①f（2）=0；②对于任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；③当x＞1时，总有f（x）＜1．
（1）求f（1）及f（

1

2

）的值；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）求不等式f（x-1）+f（x-2）＜1的解集．

已知sin（

π

4

-x）=

1

3

，则sin2x的值为．

已知数列{c_n}满足（i）

cncn+2

≤c_n+1，（ii）存在常数M（M与n无关），使得c_n＜M恒成立，则称数列{c_n}是和谐数列．
（1）已知各项均为正数的等比数列{a_n}，S_n为其前n项和；且a₃=4，S₃=28，求证：数列{S_n}是和谐数列；
（2）已知各项均为正数、公比为q的等比数列{b_n}，T_n为其前n项和，求证：{T_n}是和谐数列的充要条件为：0＜q＜1．

下列说法正确的是
①常数列既是等差数列，又是等比数列
②实数等差数列中，若公差d＜0，则数列必是递减数列
③实数等比数列中，若公比q＞1，则数列必是递增数列
④首项为a₁，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=

a1(1-qn)

1-q

⑤若数列a_n=n²+λn（n∈N^*）为单调递增数列，则λ的取值范围是λ＞-3．

已知幂函数y=f（x）的图象经过点（

1

2

，

2

2

），则lgf（2）+lgf（5）=．

某厂生产一种仪器，由于受生产能力与技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x（件）（x∈N^*）之间大体满足如框图所示的关系（注：次品率P=

次品数

生产量

）．又已知每生产一件合格的仪器可以盈利A（元），但每生产一件次品将亏损

A

2

（元）．（其中c为小于96的常数）
（1）若c=50，当x=46 时，求次品率P；
（2）求日盈利额T（元）与日产量x（件）（x∈N^*）的函数关系；
（3）当日产量为多少时，可获得最大利润？

若函数f（x）（f（x）不恒为0）满足：对一切实数x，y都有f（x）+f（y）=x（2y-1）
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若不等式f（x）＞

3

2

x+a恒成立，求a的取值范围．

已知0＜β＜

π

4

＜α＜

π

2

，cos（2α-β）=-

11

14

，sin（α-2β）=

4 3

7

，求sin

α+β

2

的值．

已知直线

6

x-2y-2

6

=0经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（＞b＞0）的一个顶点E和一个焦点F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点，且椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率K．