Question

已知直线

6

x-2y-2

6

=0经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（＞b＞0）的一个顶点E和一个焦点F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点，且椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率K．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意，E（0，

6

），F（2，0），所以b=

6

，c=2，所以a²=10，即可得出椭圆的标准方程；
（2）可判断直线l⊥x轴时，不符合题意；设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把l方程代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由四边形AOBC为平行四边形，得

OA

+

OB

=

OC

，根据韦达定理可得点C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值．

解答： 解：（1）依题意，E（0，

6

），F（2，0），
所以b=

6

，c=2，所以a²=10，
所以椭圆的标准方程为

x2

10

+

y2

6

=1；
（2）若直线l⊥x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（2c，0）．
因为2c＞a，所以点C在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直．                  
于是，设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=k（x-2）代入椭圆方程，整理得（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
所以x₁+x₂=

20k2

3+5k2

，所以y₁+y₂=-

12k

3+5k2

．
因为四边形AOBC为平行四边形，所以

OA

+

OB

=

OC

，
所以点C的坐标为（

20k2

3+5k2

，-

12k

3+5k2

），
代入椭圆方程，解得k²=1，
所以k=±1．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的运算，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论思想，属中档题．