已知函数f（x）=x²-2ax+2（a+1）lnx，若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围．

点A（1，1）在圆C：x²+y²-x+y+m=0的外部．
（1）求实数m的取值范围； 
（2）若m=-

1

4

，且过点A（1，1）的直线l被圆C截得的弦长为

2

，求直线l的方程．

已知数列

1

1×3

，

1

1×5

，

1

5×7

，

1

7×9

，…

1

(2n-1)×(2n+1)

，计算S₁，S₂，S₃，由此推测S_n的计算公式，并用数学归纳法证明．

已知等差数列{a_n}中，前5项和前10项的和分别为25和100．数列{b_n}中，b_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+1．
（1）求a_n、b_n；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

设函数f（x）=e^x-ln（x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤x₁＜x₂．求证：ex2-x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

；
（Ⅲ）设g（x）=e^x-

x

x+1

lnx-f（x），证明：对任意的正实数a，总能找到实数m（a），使g[m（a）]＜a成立．注：e为自然对数的底数．

已知 如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，A（-1，-2），B（6，5），D（0，2）．
（Ⅰ）求点C的坐标．
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD对角线交点M的坐标．

甲乙两人进行掰手腕比赛，比赛规则规定三分钟为一局，三分钟内不分胜负为平局，当有一人3局就结束比赛，否则继续进行，根据以往经验，每乙甲胜的概率为

1

2

，乙胜的概率为

1

3

，且每局比赛胜负互不受影响．
（Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；
（Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．

已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）-kx在区间（0，2）有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

有一杯糖水，重b克，其中含糖a克，现在向糖水中再加m克糖，此时糖水变得更甜了．（其中a，b，m∈R⁺）．
（1）请从上面事例中提炼出一个不等式（要求：①使用题目中字母；②标明字母应满足条件）
（2）利用你学过的证明方法对提炼出的不等式进行证明．

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在区间[0，3]上有最大值10，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．