已知数列{a_n}是递增的等比数列，满足a₁=4，且

5

4

a3是a2、a4的等差中项，数列{b_n}满足b_n+1=b_n+1，其前n项和为s_n，且S₂+S₆=a₄
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）数列{a_n}的前n项和为T_n，若不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

如图所示，江边有一座高为30m的瞭望塔AB，江中有两条船C、D，由塔顶A测得两船C、D的俯角分别为45°和30°，而且两条船C、D与塔底部B连线所成的∠CBD大小为30°，求两条船C、D间的距离为多少米？

已知tanα=3，求下列各式的值
（1）

4sinα-cosα

3sinα+5cosα

；
（2）

sin2-2sinα•cosα-cos2α

4cos2-3sin2α

；
（3）

3

4

sin²α+

1

2

cos²α．

直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，圆C的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ+1

（θ为参数），直线l的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R）．
（1）求圆C及直线l的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求

CA

•

CB

的值．

设f（x）=x²+x，用g（n）表示f（x）当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时的函数值中整数值的个数．
（1）求g（n）的表达式．
（2）设a_n=

2n3+3n2

g(n)

（n∈N^*），求S_2n=

2n

k=1

（-1）^k-1a_k．
（3）设b_n=

g(n)

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜l（l∈Z），求l的最小值．

设函数g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：x+log₃（2g（x）-8）=log₃（h（x）+9）；
（2）令p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

，q（x）=

3

h(x)+3

，求证：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2012

2014

）+p（

2013

2014

）=q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2012

2014

）+q（

2013

2014

）
（3）若f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

是实数集R上的奇函数，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．

设

OA

=（5，1），

OB

=（1，7），

OC

=（4，2），且

OM

=t

OC

（1）是否存在实数t，使

MA

⊥

MB

？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
（2）求使

MA

•

MB

取最小值点M的坐标．

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，计算得

10

i=1

x_i=80，

10

i=1

y_i=20，

10

i=1

x_iy_i=184，

10

i=1

x_i²=720．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

设向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|²+

3

2

．
（1）求x∈[-

π

6

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．
（2）将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，再将得到的图象向下平移5个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）是偶函数，求φ的最小值．

用数学归纳法证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N⁺）．