Question

设f（x）=x²+x，用g（n）表示f（x）当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时的函数值中整数值的个数．
（1）求g（n）的表达式．
（2）设a_n=

2n3+3n2

g(n)

（n∈N^*），求S_2n=

2n

k=1

（-1）^k-1a_k．
（3）设b_n=

g(n)

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜l（l∈Z），求l的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据二次函数f（x）=x²+x的图象形状，分析出当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的单调性和最值，进而可得答案；
（2）利用并项求和，可得S_2n=

2n

k=1

（-1）^k-1a_k．
（3）利用错位相减法求和，即可求l的最小值．

解答： 解．（1）对n∈N^*，函数f（x）=x²+x在[n，n+1]（n∈N^*）单增，
当x=n时，函数f（x）取最小值n²+n；
当x=n+1时，函数f（x）取最大值（n+1）²+n+1=n²+3n+2；
故f（x）的所有整数值的个数为（n²+3n+2）-（n²+n）+1=2n+3个；
（2）a_n=

2n3+3n2

g(n)

=n²，
故S_2n=（1²-2²）+（3²-4²）+…+（2n-1）²-（2n）²=-[3+7+…+（4n-1）]=-n（n+1）；
（3）由b_n=

g(n)

2n

得T_n=

5

2

+

7

22

+…+

2n+3

2n

，且

1

2

T_n=

5

22

+

7

23

+…+

2n+3

2n+1

两式相减，得

1

2

T_n=

7

2

-

2n+7

2n+1

于是T_n=7-

2n+7

2n

，
故7-

2n+7

2n

＜l且l∈Z，则l的最小值是7．

点评：本题考查二次函数的图象和性质，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．