如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F是AB上一点，且AF=

1

3

AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．

（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求三棱锥A-CFD的体积．
（3）异面直线AC与BD所成角的余弦值．

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面SAD为正三角形，且垂直于底面ABCD．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在边CD上是否存在一点E，使得SB⊥AE？请说明理由．

如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=

6

．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求二面角F-DG-C的余弦值．

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax²（a≤1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2ln（n+1）（n∈N^*）

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₆=3，S₁₂=-30，数列{b_n}满足bn=

4Sn

n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

如图（1），在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，点M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）若BE=4，CE=4

2

，且二面角A-BC-E的大小为45°，如图（2），试问棱DE上是否存在一点P，使得BP与平面ABE所成的角为30°？若存在，求PE的长度；若不存在，说明理由．

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：
①求

EF

和点G的坐标；
②求异面直线EF与AD所成的角；
③求点C到截面AEFG的距离．

如图所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a²+a）lnx-x．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．