Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a²+a）lnx-x．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）通过求导数，确定切线的斜率，利用直线方程的点斜式即得解；
（2）求导数，求极值点，得x=-a或x=a+1，分以下情况讨论：①a≤-1；②-1＜a＜-

1

2

；③a=-

1

2

；④-

1

2

＜a＜0；⑤a≥0等，明确函数f（x）的单调区间；

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，f′（x）=x-

2

x

-1，f（1）=-

1

2

，f′（1）=-2，
∴所求切线方程为y+

1

2

=-2（x-1），即4x+2y-3=0．
（2）f′（x）=x-

a2+a

x

-1=

x2-x-(a2+a)

x

=

(x+a)(x-a-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=-a或x=a+1．
①当a≤-1时，a+1≤0，-a＞0，∴f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增；
②当-1＜a＜-

1

2

时，0＜a+1＜-a，∴f（x）在（0，a+1）和（-a，+∞）上单调递增，在（a+1，-a）上单调递减；
③当a=-

1

2

时，a+1=-a，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④当-

1

2

＜a＜0时，0＜-a＜a+1，∴f（x）在（0，-a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（-a，a+1）上单调递减；
⑤当a≥0时，-a≤0，a+1＞0，∴f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增；
综上，当a≤-1时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增；当-1＜a＜-

1

2

时，f（x）在（0，a+1）和（-a，+∞）上单调递增，在（a+1，-a）上单调递减；当a=-

1

2

时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当-

1

2

＜a＜0时，f（x）在（0，-a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（-a，a+1）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．在（a+1，+∞）单调递增．

点评：该题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．