题目内容
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求
| EF |
②求异面直线EF与AD所成的角；
③求点C到截面AEFG的距离．
考点：点、线、面间的距离计算,空间中的点的坐标,异面直线及其所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），由此能求出
，又
=
，能求出G（0，0，1）．
（2）由
=（-1，0，0），
=(-1，0，1)，能求出异面直线EF与AD所成的角．
（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG的距离．
| EF |
| AG |
| EF |
（2）由
| AD |
| EF |
（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG的距离．
解答：
解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），
E（1，4，4），F（0，4，4），
∴
=（-1，0，1），又∵
=
，
设G（0，0，z），
∴（-1，0，z）=（-1，0，1），解得z=1，
∴G（0，0，1）．
（2）∵
=（-1，0，0），
=(-1，0，1)，
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴异面直线EF与AD所成的角为45°．
（3）设平面AEFG的法向量
=(x，y，z)，
∵
=（-1，0，1），
=（0，4，3），
∴
，取z=4，得
=（4，-3，4），
∵C（0，4，0），
=(-1，4，0)，
∴点C到截面AEFG的距离d=
=
=
．
E（1，4，4），F（0，4，4），
∴
| EF |
| AG |
| EF |
设G（0，0，z），
∴（-1，0，z）=（-1，0，1），解得z=1，
∴G（0，0，1）．
（2）∵
| AD |
| EF |
∴cos＜
| AD |
| EF |
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
∴异面直线EF与AD所成的角为45°．
（3）设平面AEFG的法向量
| n |
∵
| AG |
| AE |
∴
|
| n |
∵C（0，4，0），
| AC |
∴点C到截面AEFG的距离d=
|
| ||||
|
|
| |-4-12| | ||
|
16
| ||
| 41 |
点评：本题考查
和点G的坐标的求法，考查异面直线EF与AD所成的角的求法，考查点C到截面AEFG的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
| EF |
练习册系列答案
相关题目
设命题甲“x＞1”，命题乙“x2＞1”，其中x∈R，那么命题甲是命题乙的（ ）
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
已知（xcosθ+1）5的展开式中x2的系数与（x+
）4的展开式中x3的系数相等，则sinθ=（ ）
| 5 |
| 4 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、-
| ||||
D、±
|
如图，△ABC中，| AC |
| BC |
| CD |
| 1 |
| 2 |
| CA |
| CB |
| AC |
| BC |
| AC |
| CD |
A、
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、-
|
如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．
如图所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=