（Ⅰ）求函数f（x）=x²-xlnx图象上的点P（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数f（x）=ax²-1nx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R对于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x．
（1）已知点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））（x₁≥0，x₂≥0），若直线PQ平行于x轴，求P，Q两点间的最短距离；
（2）若x≥0时，f（x）-f（-x）≥a（g（x）-g（-x））恒成立，求实数a的取值范围．

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

1

bn

=-

1

an2

-n+1，对于任意n≥2，n∈N^*都有λb_n+

1

bn+1

≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

设函数f（x）=

ex-1

x

．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）-1＜a成立．

已知函数f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，求a、b的值；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2，求证：|b|≤

4 3

9

．

已知命题p：x²+mx+1=0方程有两个不等的负实根，命题q：关于x的不等式x²+（m-3）x+m²＞0的解集是R．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

已知f（x）=2cos（3π-

x

2

）cos（

π

2

-

x

2

）+sin²（π+

x

2

）-cos²（π+

x

2

）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若g（x）=f（

π

12

-x），求不等式g（x）＜1的解集；
（3）若不等式|f（x）-a|＜2当x∈[0，π]时恒成立，试确定a的取值范围．

已知直线l：xsina-y+1=0（a∈R），求其倾斜角φ的范围．

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna-b（a，b∈R，a＞0，a≠1）．
（1）当a＞1时，试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当b=4，a=e（e是自然对数的底数，e=2.71828…）时，求整数k的值，使得函数f（x）在区间（k，k+1）上存在零点；
（3）当b=0时，若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

设函数f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个极值点x₁和x₂，记过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）证明：

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

（n∈N^*，n≥2）．