题目内容

已知函数f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0）
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，求a、b的值；
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，求证：|b|≤
4
3
9
．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）由于在x=2处的切线方程为y=7x-20，可得切点（2，-6）．f′（x）=ax2+bx-a2，f′（2）=7，f（2）=-6．联立解得即可．
（2）由x1，x2是函数f（x）的两个极值点，可知：ax2+bx-a2=0的两个根．利用根与系数的关系可得：b=-a（x1+x2）=x1x2（x1+x2），因此b2=(x1x2)2(
x
2
1
+
x
2
2
+2x1x2)，利用|x1|+|x2|=2．可得
x
2
1
+
x
2
2
=4+2x1x2，b2=(x1x2)2（4+4x1x2）=a2（4-4a）=4a2-4a3（a＞0）．设y=b2=4a2-4a3，则y′=8a-12a2，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
解答： 解：（1）∵在x=2处的切线方程为y=7x-20，∴切点（2，-6）．
f′（x）=ax2+bx-a2，
∴4a+2b-a2=7，-6=
8
3
a+2b-2a2，又a＞0．
联立解得a=3，b=2．
（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，
∴x1，x2是ax2+bx-a2=0的两个根，
∴x1+x2=-
b
a
，x1x2=-a．
∴b=-a（x1+x2）=x1x2（x1+x2），
∴b2=(x1x2)2(
x
2
1
+
x
2
2
+2x1x2)，
∵|x1|+|x2|=2，
∴
x
2
1
+
x
2
2
+2|x1x2|=4，
∵a＞0，∴x1x2=-a＜0．
∴
x
2
1
+
x
2
2
=4+2x1x2，
∴b2=(x1x2)2（4+4x1x2）=a2（4-4a）=4a2-4a3（a＞0）．
设y=b2=4a2-4a3，则y′=8a-12a2，
令y′=0，又a＞0，解得a=
2
3
．
当a＞
2
3
时，y′＜0，此时函数y单调递减；当0＜a＜
2
3
时，y′＞0，此时函数y单调递增．
∴a=
2
3
是函数y=b2=4a2-4a3的极大值，也是最大值，为
16
27
．
∴b2≤
16
27
，
∴|b|≤
4
3
9
．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
1
1-x
+ln（1+x），则f（x）的定义域为（　　）
A、{x|x＞-1}
B、{x|x＜1}
C、{x|-1＜x＜1}
D、∅
已知函数f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在x=-
1
2
和x=
3
2
处取得极值．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．
已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
设函数f（x）=x-
1
x
-alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）证明：
n
k=2
ln
k-1
k+1
＞
2-n-n2
2n(n+1)
（n∈N*，n≥2）．
已知f（x）=cos2x+4m[sin2（
π
4
+
x
2
）-1]，当x∈（0，
π
2
）时，有f（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，其定义域为[-2，t]（t＞-2），
（1）当t=2时时，求函数f（x）的极大值；
（2）求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足
f′(x0)
ex0
=
2
3
(t-1)2，并确定这样的x0的个数．
已知函数f（x）=（x3+ax2）ex，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上为单增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）有两个极小值点x1，x2（x1，x2≠0），且f（x1）•f（x2）＜
4
e2
，求a的取值范围．
函数f（x）=x2+1，x∈[1，2）的值域是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网