Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x．
（1）已知点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））（x₁≥0，x₂≥0），若直线PQ平行于x轴，求P，Q两点间的最短距离；
（2）若x≥0时，f（x）-f（-x）≥a（g（x）-g（-x））恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据题意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．
（2）由已知得x≥0时，e^x-

1

ex

+2sinx≥2ax恒成立，设t（x）=e^x-

1

ex

+2sinx，由导数性质得t（x）_min=t（0）=0，从而（2ax）_max=0，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））（x₁≥0，x₂≥0），
直线PQ平行于x轴，
∴f（x₁）=g（x₂），∴ex1+sinx₁=x₂，
∴P，Q两点间的距离等于|x₂-x₁|=|ex1+sinx₁-x₁|，
设h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），则h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），
记l（x）=h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），则l'（x）=e^x-sinx≥1-sinx≥0，
∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=1，
∴|x₂-x₁|≥1，即P，Q两点间的最短距离等于1．
（2）∵x≥0时，f（x）-f（-x）≥a（g（x）-g（-x））恒成立，
∴x≥0时，e^x-

1

ex

+2sinx≥2ax恒成立，
设t（x）=e^x-

1

ex

+2sinx，
则t′(x)=ex+

1

ex

+2cosx＞0，
∴t（x）是增函数，∴t（x）_min=t（0）=0，
∵x≥0时，e^x-

1

ex

+2sinx≥2ax恒成立，
∴（2ax）_max=0，∴a≤0．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．