Question

（Ⅰ）求函数f（x）=x²-xlnx图象上的点P（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数f（x）=ax²-1nx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R对于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义能求出函数f（x）=x²-xlnx图象上的点P（1，1）处的切线方程．
（II）问题即f（x）_min≥3，由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=(x2)′-(xlnx)′=2x-1×lnx-x•

1

x

=2x-lnx-1，…（2分）
由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是k=f'（1）=2×1-ln1-1=1，…（1分）
切点纵坐标为f（1）=1-1×ln1=1，
故切点的坐标是（1，1），
所以切线方程为y-1=（x-1），即y=x．（2分）
（II）问题即f（x）_min≥3，
f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，x∈(0，e]，（1分）
1）当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]递减，
f_min（x）=f（e）f(e)=ae2-1≥3⇒a≥

4

e2

，所以a无解．（2分）
2）当a＞0时，f′(x)=

2ax2-1

x

=0，得x=

1 2a

    (x＞0)
若

1 2a

≥e，即a≤

1

2e2

，
则f'（x）≤0，f（x）在（0，e]递减，
f_min（x）=f（e）f(e)=ae2-1≥3⇒a≥

4

e2

，所以a无解．（2分）
若

1 2a

＜e，即a＞

1

2e2

时，当x∈(0，

1 2a

)时f（x）单调递减，
当x∈(

1 2a

，e)时f（x）单调递增．
fmin(x)=f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a，

1

2

+

1

2

ln2a≥3，解得a≥

e5

2

，
综上可知实数a的取值范围为：a≥

e5

2

．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．解题时要注意导数的几何意义的合理运用．