设函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的极值；
（Ⅲ）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=e^x-m-ln（2x）．
（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞-ln2．

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

已知函数f（x）=（x²-2x）e^kx（k∈R，e为自然对数的底数）在（-∞，-

2

]和[

2

，+∞）上递增，在[-

2

，

2

]上递减．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值．

设函数f（x）=e^x-1-ax，g（x）=xf（x）
（Ⅰ）若a=

1

2

，求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，

3

2

）
（Ⅰ）椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长；
（2）求△MF₁N的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF₁N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．

已知抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数．
（1）求b、c的值；
（2）求g（x）在区间[-3，2]上的最值．

已知函数f（x）=lnx+

a

x+1

（a∈R）．
（1）当a=

9

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的无极值点，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=（ax²+x）•e^x，其中e是自然数的底数，a∈R，
（1）当a＞0时，解不等式f（x）＞（a-1）e^x；
（2）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•e^x≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•e^x+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由．