Question

已知函数f（x）=（ax²+x）•e^x，其中e是自然数的底数，a∈R，
（1）当a＞0时，解不等式f（x）＞（a-1）e^x；
（2）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•e^x≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•e^x+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得ax²+x-a+1＞0，由此能求出当0＜a＜

1

2

时，原不等式的解集为（

a-1

a

，-1），当a=

1

2

时，原不等式的解集为∅，当a＞

1

2

时，原不等式的解集为（-1，

a-1

a

）．
（2）当x∈[-1，1]时，不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，由此分类讨论，能求出a的取值范围．
（3）方程即为e^x+x-2=0，设h（x）=e^x+x-2，由此利用函数的单调性能求出e^x+x-2=0有且仅有一个根，且在（0，1）内，所以存在唯一的整数k=0．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）∵f（x）=（ax²+x）•e^x，f（x）＞（a-1）e^x，
∴（ax²+x）e^x-（a-1）e^x＞0，∴ax²+x-a+1＞0，
∵a＞0，∴x₁=-1，x₂=

a-1

a

，
∴当0＜a＜

1

2

时，原不等式的解集为（

a-1

a

，-1），
当a=

1

2

时，原不等式的解集为∅，
当a＞

1

2

时，原不等式的解集为（-1，

a-1

a

）．
（2）当x∈[-1，1]时，不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，
①若a=0，则x+1≥0，该不等式满足在x∈[-1，1]时恒成立；
②∵△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
∴g（x）=ax²+（2a+1）x+1有两个零点，
若a＞0，则需满足

a＞0 g(-1)≥0 - 2a+1 2a ≤-1

，此时a无解；
③若a＜0，则需满足

a＜0 g(-1)≥0 g(1)≥0

，
即

a＜0 a＜0 a≥- 2 3

，所以-

2

3

≤a＜0
综上所述，a的取值范围是-

2

3

≤a≤0．
（3）方程即为e^x+x-2=0，设h（x）=e^x+x-2，
由于y=e^x和y=x-2均为增函数，则h（x）也是增函数，
又因为h（0）=e⁰+0-2=-1＜0，h（1）=e¹+1-2=e-1＞0，
所以该函数的零点在区间（0，1）上，
又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，
所以方程e^x+x-2=0有且仅有一个根，
且在（0，1）内，所以存在唯一的整数k=0．

点评：本题考查方程的解法，考查a的取值范围的求法，考查满足条件的整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．