Question

已知函数f（x）=（x²-2x）e^kx（k∈R，e为自然对数的底数）在（-∞，-

2

]和[

2

，+∞）上递增，在[-

2

，

2

]上递减．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=e^kx[kx²+（2-2k）x-2]．g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）上的函数值恒大于零，由此利用导数性质韦达定理求出k=1．
（Ⅱ）根据m的取值进行分类讨论，由此利用导数性质能求出f（x）在区间[0，m]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）对函数f（x）=（x²-2x）e^kx求导，得
f′（x）=e^kx[kx²+（2-2k）x-2]．（2分）
∵函数f（x）在（-∞，-

2

]和[

2

，+∞）上递增，
在[-

2

，

2

]上递减．而e^kx＞0．
∴g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）上的函数值恒大于零，（3分）
g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（

2

-，

2

）上函数值恒小于零．（4分）
∴不等式kx²+（2-2k）x-2＞0的解集为
（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）（5分）
∴k＞0，且x=±

2

是方程kx²+（2-2k）x-2=0的两个解．（6分）
根据韦达定理得，k=1．（7分）
（Ⅱ）①当0＜m≤

2

时，∵f（x）在[-

2

，

2

]上递减，
∴f（x）在区间[0，m]上的最大值为f（0）=0，
f（x）在区间[0，m]上的最小值为f（m）=（m²-2m）e^m．（9分）
②当

2

＜m≤2时，
∵f（x）在[-

2

，

2

]上递减，f（x）在[

2

，+∞）上递增，且f（0）=f（2）=0，
∴f（x）在[0，m]上的最大值为f（0）=0，
f（x）在区间[0，m]上的最小值为f（

2

）=（2-2

2

）e 

2

（12分）
③当m＞2时，∵f（x）在[-

2

，

2

]上递减，
f（x）在[

2

，+∞）上递增，且f（m）＞0=f（0），
∴f（x）在[0，m]上的最大值为f（m）=（m²-2m）e^m，
f（x）在区间[0，m]上的最小值为f（

2

）=（2-2

2

）e 

2

．（15分）

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．