Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数．
（1）求b、c的值；
（2）求g（x）在区间[-3，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x），从而得到g（x），由g（x）为奇函数，可得g（-x）=-g（x）总成立，从而可求出b，c值；
（2）由（1）写出g（x），求g′（x），由导数求出函数g（x）的单调区间，由此可得到极值求出端点的函数值，即可求解函数的最值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，g（x）=f（x）-f′（x）=x³+bx²+cx-3x²-2bx-c=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c，
因为g（x）为奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即-x³+（b-3）x²-（c-2b）x-c=-[x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c]，
也即2（b-3）x²=2c，
所以b=3，c=0．
（2）由（1）知，g（x）=x³-6x，
g′（x）=3x²-6=3（x+

2

）（x-

2

），令g′（x）=0，得x=-

2

或x=

2

，
当x＜-

2

或x＞

2

时，g′（x）＞0，当-

2

＜x＜

2

时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（-∞，-

2

），（

2

，+∞）上单调递增，在（-

2

，

2

）上单调递减，
所以当x=-

2

时，g（x）取得极大值g（-

2

）=4

2

；
当x=

2

时，g（x）取得极小值g（

2

）=-4

2

，
又g（-3）=27-18=9，
g（2）=8-12=-4．
则g（x）在区间[-3，2]上的最大值为9，最小值为-4

2

．

点评：本题考查导数与函数的极值及函数的奇偶性，可导函数f（x）在点x₀处取得极值的充要条件是f′（x₀），且导数在x₀左右两侧异号．利用导数求解函数的最值，不可忽视端点的函数值．