题目内容
已知抛物线y=4x2-4（m+2）x+m2+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出抛物线与x轴的两交点坐标，利用根与系数关系得到抛物线与x轴的两个交点间的距离，然后代入三角形的面积公式，配方后求得三角形ABC面积S的最大值．
解答：
解：抛物线y=4x2-4（m+2）x+m2+4m-5所对应的方程为4x2-4（m+2）x+m2+4m-5=0，
△=[-4（m+2）]2-16（m2+4m-5）=144＞0，
设抛物线与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
则根据根与系数的关系可得：x1+x2=m+2，x1x2=
（m2+4m-5），
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m+2）2-（m2+4m-5）=9，
∴|x1-x2|=3．
抛物线与y轴的交点坐标为 （0，m2+4m-5）
∵-5＜m＜1，
∴m2+4m-5=（m+5）（m-1）＜0，
∴三角形ABC的高是（-m2-4m+5），
∴S△ABC=
（-m2-4m+5）×3=-
（m+2）2+
∴m=-2时，函数有最大值，最大面积是
．
△=[-4（m+2）]2-16（m2+4m-5）=144＞0，
设抛物线与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
则根据根与系数的关系可得：x1+x2=m+2，x1x2=
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∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m+2）2-（m2+4m-5）=9，
∴|x1-x2|=3．
抛物线与y轴的交点坐标为 （0，m2+4m-5）
∵-5＜m＜1，
∴m2+4m-5=（m+5）（m-1）＜0，
∴三角形ABC的高是（-m2-4m+5），
∴S△ABC=
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∴m=-2时，函数有最大值，最大面积是
| 27 |
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点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，关键是明确题中所给条件，借助于一元二次方程的根与系数关系求解，同时训练了利用配方法求二次函数最值，是中档题．
练习册系列答案
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若A={x|-1≤x＜2}，B={x∈Z|-1＜x＜3}，则A∩B=（ ）
| A、{x|-1＜x＜2} |
| B、{-1，0，1} |
| C、{0，1} |
| D、{0，1，2} |
过曲线y=x3-2x-6上的点（-1，-5）作两条互相垂直的直线l1，l2，若直线l1是曲线y=x3-2x-6的切线，则直线l2的倾斜角为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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