Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）切线和x轴平行，所以切线的斜率为0，再根据函数在切点处的导数与切线斜率的关系便能求出a．从而求出函数f（x），求f′（x），根据导数符号和函数单调性的关系便能判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）根据函数f（x）在[0，1]上的单调性求出函数f（x）的值域[1，e]，所以对于任意的x₁，x₂∈[0，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，即|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]；
由已知条件知：f′（1）=3e（a+1）=0，∴a=-1；
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=e^x（-x²-x+2）；
∴解-x²-x+2＞0得：-2＜x＜1；解-x²-x+2＜0得：＜-2，或x＞1；
∴函数f（x）在[-2，1]上单调递增，在（-∞，-2）和（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[0，1]上单调递增；
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为：[f（0），f（1）]=[1，e]；
∴对任意x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2；
∴对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

点评：考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，函数导数符号和函数单调性的关系．