已知sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π），求下列各式的值．
（1）sinθ-cosθ； 
（2）tanθ；
（3）

cosθ-sinθ

cosθ+sinθ

+

cosθ+sinθ

cosθ-sinθ

．

记函数f（x）=lg（x²-x-2）的定义域为集合A，函数g（x）=

3-|x|

的定义域为集合B．则求 
（Ⅰ）A∩B；
（Ⅱ）（∁_RA）∪B．

生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
（1）根据这个规律，写出生物体内碳14的含量p与死亡年数t之间的函数关系式．
（2）湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．（精确到个位；辅助数据：log₂0.767≈-0.3827）

已知函数f(x)=

1

2

x2-2(a+2)lnx+ax，a∈R
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最小值；
（2）是否存在实数a，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x₀是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x₁，x₂，当|x₀-x₁|＜1且|x₂-x₀|＜1时，不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜2成立．

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象上一点P（1，0），且在点P处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．

已知函数f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

7

2

是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

设A、B是函数y=log₂x图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：x=a+2与函数y=log₂x图象交于点C，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）当△ABC的面积等于1时，求实数a的值．
（3）当1≤a≤2时，求△ABC的面积的取值范围．

已知f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在[-3，2]区间上的最大值和最小值．

设函数f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]•e^x
（1）求f（x）的递增区间；
（2）a≥1时，求f（x）的最小值．