题目内容
设函数f（x）=[x2+（a-3）x-2a+3]•ex
（1）求f（x）的递增区间；
（2）a≥1时，求f（x）的最小值．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）a≥1时，求f（x）的最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：（1）求导数，令导数大于0，可得f（x）的递增区间；
（2）a≥1时，确定函数的极值点，即可求f（x）的最小值．
（2）a≥1时，确定函数的极值点，即可求f（x）的最小值．
解答：
解：（1）f′（x）=（x+a）（x-1）ex＞0
①a＜-1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（-a，+∞）；
②a＞-1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（1，+∞）；
③a=-1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
（2）由（1）可知f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）上递增，在（-a，1）上递减，
∴f（x）有极大值点-a，极小值点1，且f（1）=（1-a）e≤0，f（-a）=
＞0，
令h（x）=x2+（a-3）x-2x+3，对称轴
＞-a，h（-a）=a+3＞0，
∴x≤-a时，h（x）≥h（-a）＞0，即f（x）＞0，
∴f（x）min=f（1）=（1-a）e．
①a＜-1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（-a，+∞）；
②a＞-1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（1，+∞）；
③a=-1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
（2）由（1）可知f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）上递增，在（-a，1）上递减，
∴f（x）有极大值点-a，极小值点1，且f（1）=（1-a）e≤0，f（-a）=
| a+3 |
| ea |
令h（x）=x2+（a-3）x-2x+3，对称轴
| 3-a |
| 2 |
∴x≤-a时，h（x）≥h（-a）＞0，即f（x）＞0，
∴f（x）min=f（1）=（1-a）e．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=
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| 1 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
当-
≤x≤
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| π |
| 2 |
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| 2 |
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