Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象上一点P（1，0），且在点P处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：

分析：（1）首先求出函数f（x）的导数，根据曲线在P（1，0）处的切线斜率是-3，求出a的值；然后根据函数过点P（1，0），求出b的值，进而求出函数f（x）的解析式即可；
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=2，然后分类讨论，求出函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值即可．

解答： 解：（1）因为f′（x）=3x²+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，
即3+2a=-3，
所以a=-3；
又因为函数过（1，0）点，
即-2+b=0，
所以b=2，
所以f（x）=x³-3x²+2；
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，可得x=0或x=2，
①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，t]上是减函数，
所以f（x）_max=f（0）=2，
f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2；
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：

x	0	（0，2）	2	（2，t）	t
f′（x）	0	-	0	+	+
f（x）	2	递减	-2	递增	t3-3t2+2

f（x）_min=f（2）=-2，
f（x）_max为f（0）与f（t）中较大的一个，
f（t）-f（0）=t³-3t²=t²（t-3）＜0，
所以f（x）_max=f（0）=2，
综上，函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是-2．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，属于中档题．