Question

设A、B是函数y=log₂x图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：x=a+2与函数y=log₂x图象交于点C，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）当△ABC的面积等于1时，求实数a的值．
（3）当1≤a≤2时，求△ABC的面积的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得：D为线段AB的中点，结合A，B两点坐标及中点坐标公式，可得答案．
（2）过A，B，C作与x的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，则S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}-S_{梯形AA′B′B}=log₂

(a+2)2

a(a+4)

，由△ABC的面积等于1，构造关于a的方程，解方程可得答案；
（3）S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

=log2[1+

4

(a+2)2-4

]，当1≤a≤2时，利用分析法可得△ABC的面积的取值范围．

解答： 解：（1）由已知可得：D为线段AB的中点，
∵A（a，log₂a ），B（a+4，log₂（a+4）），
由中点公式得D（a+2，log₂

a(a+4)

 ）．…（4分）
（2）过A，B，C作与x的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，
则S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}-S_{梯形AA′B′B}
=

1

2

[log₂a+log₂（a+2）]×2+

1

2

[log₂（a+2）+log₂（a+4）]×2-

1

2

[log₂a+log₂（a+4）]×4
=2log₂（a+2）-log₂a-log₂（a+4）=log₂

(a+2)2

a(a+4)

，
由S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

=1，得a=2

2

-2．…（9分）
（3）S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

₌log2

a2+4a+4

a2+4a

=log2[1+

4

(a+2)2-4

]，
由于1≤a≤2，得（a+2）²-4∈[5，12]，
故

4

(a+2)2-4

∈[

1

3

，

4

5

]，
故1+

4

(a+2)2-4

∈[

4

3

，

9

5

]，
故S_△ABC∈[log₂

4

3

，log₂

9

5

]…（14分）

点评：本题考查的知识点是中点公式，割补法求面积，对数的运算性，函数的值域，是函数与方程的综合应用，难度中档．