已知i是虚数单位，关于x的方程为x²-x+（x+2i）i=

3+7i

1-i

．
（Ⅰ）证明方程无实数解
（Ⅱ）若x∈C，求方程的解．

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）画出二面角A₁-BD-A的平面角；
（2）求出二面角A₁-BD-A的正切值．

已知倾斜角为

π

4

的直线f经过点P（1，1）．
（I）写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与x²+y²=4相交于A，B两点，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

已知方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x）．
（1）若方程有且只有一个根，求a的取值范围．
（2）若方程无实数根，求a的取值范围．

2013年12月26日上午，日本首相安倍晋三参拜了靖国神社．这是安倍两次出任首相以来首次参拜，引起周边国家的强烈谴责，我军为了加强防范外敌入侵加强军事演习．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为

3 a

2

的军事基地C和D测得蓝方两只精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两只精锐部队的距离．

某学生正确解答选择题﹑填空题﹑解答题这三种题型的概率分别为0.6﹑0.5﹑0.5，且解答每种题型正确与否相互独立，现在让该生解选择题﹑填空题﹑解答题各一个，并用ξ表示解对题的个数．
（Ⅰ）求该生至少解对一个题的概率．
（Ⅱ）求ξ的分布列和数字期望Eξ．

已知f（x）=x³+a^x2-a²x+2
（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求实数a的取值范围．

定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x），若对?x∈D，均有f（x）＜f′（x），则称函数f（x）为D上的梦想函数．
（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，试判断f（x）是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（2）若函数g（x）=ax+a-1（a∈R，x∈（0，π））为其定义域上的梦想函数，求a的取值范围．

在二项式（x+

1

2 x

）ⁿ的展开式，第四项与第七项的二项式系数相等．
（1）求n的值及其常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．

已知函数f（x）=e^x（其中e为常用对数的底数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求证：f（x）＞ln（x+m），其中常数m≤2．