Question

已知函数f（x）=e^x（其中e为常用对数的底数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求证：f（x）＞ln（x+m），其中常数m≤2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）构造g（x）=e^x-x-1，将证明不等式恒成立问题转化为函数g（x）≥0恒成立的问题，可利用导数求出函数的单调区间，确定出函数g（x）的最小值，问题得以证明．
（Ⅱ）h（x）=x+1-ln（x+m），将证明不等式恒成立问题转化为函数h（x）＞0恒成立的问题，可利用导数求出函数的单调区间，确定出函数h（x）的最小值，问题得以证明．

解答： 证明：（Ⅰ）∵f（x）=e^x，
设g（x）=e^x-x-1，
∴g'（x）=e^x-1，
当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
∴当x=0时，g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）≥0，
即f（x）≥x+1．
（Ⅱ）设h（x）=x+1-ln（x+m），
∴h′(x)=1-

1

x+m

=

x+m-1

x+m

(x＞-m)．
当x＞-m+1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x=1-m时，h（x）_min=h（1-m）=2-m，
∴h（x）≥h（-m+1）=2-m≥0，
即x+1≥ln（x+m），当m=2，x=-1时取等号，
由（Ⅰ）所以f（x）＞ln（x+m）．

点评：本题考查导数在最值问题中的应用，本题是一个证明题，将不等式证明问题转化为函数最值问题求解是证明与变量有关的不等式的常用方法，解题的关键是将不等式恒成立的问题转化为求函数的最值，本题考查了函数思想转化思想，用函数法证明不等式，其难点是构造恰当的函数，本题技巧性强，考查了观察能力及转化化归的能力