某学生正确解答选择题﹑填空题﹑解答题这三种题型的概率分别为0.6﹑0.5﹑0.5.且解答每种题型正确与否相互独立.现在让该生解选择题﹑填空题﹑解答题各一个.并用ξ表示解对题的个数．(Ⅰ)求该生至少解对一个题的概率．(Ⅱ)求ξ的分布列和数字期望Eξ．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某学生正确解答选择题﹑填空题﹑解答题这三种题型的概率分别为0.6﹑0.5﹑0.5，且解答每种题型正确与否相互独立，现在让该生解选择题﹑填空题﹑解答题各一个，并用ξ表示解对题的个数．
（Ⅰ）求该生至少解对一个题的概率．
（Ⅱ）求ξ的分布列和数字期望Eξ．

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：：（Ⅰ）用 A₁、A₂、A₃分别表示该生解对选择题、填空题、解答题的事件，由.
A
=
.
A1
.
A2
.
A3
且A₁、A₂、A₃ 、 .
A1
、
.
A2
、
.
A3
相互独立，能求出该生至少解对一个题的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）用 A₁、A₂、A₃分别表示该生解对选择题、填空题、解答题的事件，
.
A1
，
.
A2
，
.
A3
分别表示A₁、A₂、A₃ 的对立事件，
A表示该生至少解对一个题的事件， .
A
表示A的对立事件．
∵
.
A
=
.
A1
.
A2
.
A3
且A₁、A₂、A₃ 、 .
A1
、
.
A2
、
.
A3
相互独立 …1分
∴P(
.
A
)=P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=P(
.
A1
)P(
.
A2
)P(
.
A3
)
=（1-0.6）（1-0.5）（1-0.5）=0.1 …3分
∴P(A)=1-P(
.
A
)=1-0.1=0.9，…5分
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3 …6分
P（ξ=0）=0，P(
.
A
)=0.1 …7分
P(ξ=1)=P(A1
.
A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2
.
A3
)+P(
.
A1
.
A2
A3)
=0．6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35 …8分
P(ξ=2)=P(A1A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2A3)+P(A1
.
A2
A3)
=0．6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4 …9分
P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=0．6×0.5×0.5=0.15 …10分
∴ξ的分布列为：…11分
ξ 0 1 2 3
P 0.1 0.35 0.4 0.15
∴Eξ+0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．…12分