Question

在二项式（x+

1

2 x

）ⁿ的展开式，第四项与第七项的二项式系数相等．
（1）求n的值及其常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）依题意可得，

C

3 n

=

C

6 n

，从而可求得n，利用其通项公式即可求得展开式中的常数项．
（2）通过n值判断第5.6项二项式系数最大，求出结果即可．

解答： 解：（1）由题意可得，

C

3 n

=

C

6 n

，解得n=9，
∴T_r+1=

C

r 9

x9-r(

1

2

)rx-

r

2

=

C

r 9

(

1

2

)rx9-

3r

2

，由9-

3

2

r=0得，r=6，所以常数项为第七项T₇=(

1

2

)6

C

6 9

=

21

16

．
（2）展开式二项式系数最大的项为第5项和第六项，
即T₅=(

1

2

)4

C

4 9

x3=

63

8

x3，T₆=(

1

2

)5

C

5 9

x

3

2

=

63

16

x

3

2

．

点评：本题考查二项式系数的性质，考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．