Question

已知i是虚数单位，关于x的方程为x²-x+（x+2i）i=

3+7i

1-i

．
（Ⅰ）证明方程无实数解
（Ⅱ）若x∈C，求方程的解．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）化简方程右侧复数，利用复数的相等的充要条件，求解方程组无解即可证明方程无实数解．
（Ⅱ）若x∈C，设出复数 x=a+bi（a，b∈R）代入方程，利用复数相等的现有条件求解即可得到方程的解．

解答： 解：（Ⅰ）原方程可化为 x²-x-2+xi=-2+5i …2分
假设该方程有解x 且 x∈R，
则

x=5 x2-x-2=-2

，即

x=5 x2-x=0

…4分
∵x=5时，显然x²-x≠0∴上式不成立 …5分
∴假设不成立，即原方程无实数解 …6分
（Ⅱ）∵ x∈C设 x=a+bi（a，b∈R）
∴（a+bi）²-（a+bi）-2+（a+bi）i=-2+5i
即  a²-b²-a-b-2+（2ab-b+a）i=-2+5i…8分
∴

a2-b2-a-b=0(1) 2ab-b+a=5(2)

  …9分
由（1） 得  （a+b）（a-b-1）=0∴a+b=0或 a-b-1=0
a+b=0与2a-b+a=5 联立得 2a²-2a+5=0，该方程无解  …10分
a-b-1=0与2ab-b+a=5 联立得 a²-a-2=0
解得 a=-1，b=-2或 a=2，b=1
∴该方程的解为 -1-2i或  2+i…12分

点评：本题考查复数的方程的解法，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．