如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点，E为A₁B₁的中点．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求直线A₁B₁到平面DAB的距离；
（3）求二面角A-BD-C的正切值．

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中如图1，AC⊥BC，D为AB中点，CB=1，AC=

3

，异面直线C₁D与A₁B₁所成角大小为arccos

1

4

．
（1）在图2中画出此三棱柱的左视图和俯视图；
（2）求三棱锥C₁-CBD的体积．

若曲线F（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线F（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x²-y²=1；②y=x²-2|x|；③y=sinx+cosx；④|x|+1=

2-y2

对应的曲线中不存在“自公切线”的有．

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点．
（1）求证：平面AFC⊥平面BDEF；
（2）求证：平面BDGH∥平面AEF．

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a²-a）lnx-x（a≤

1

2

）．
（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）对?x＞1恒成立，求a的取值范围．

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃是a₂与a₄的等差中项，且以a₃-2，a₃，a₃+2为边长的三角形是直角三角形．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n+n，求数列{b_n}的通项公式．

某校高一学生参加社会实践活动，调查某种产品的生产和销售情况时发现：该产品的出厂价格在6元基础上按月份随正弦曲线波动，已知在一个周期内3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元，而该商品在商店内的销售价格是在8元基础山按月份随正弦曲线波动的，并已知在一个周期内5月份出厂价最高为10元，9月份销售价最低为6元．学校超市每月进这种商品m件，并且当月售完．请你根据以上调查情况估计超市哪个月份盈利最大？并说明理由．

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为

3

2

．直线l与椭圆C交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；
（Ⅲ）设点P关于x轴的对称点为P′（P′与Q不重合），当直线l过点（1，0）时，判断直线P′Q是否与x轴交于一定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

已知圆C的方程可以表示为x²+y²-2x-4y+m=0，其中m∈R．
（1）若m=1，求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

在△ABC中，已知a²-a=2（b+c），a+2b=2c-3．
（1）若sinC：sinA=4：

13

，求a、b、c；
（2）在（1）的条件下，求△ABC的最大角的弧度数．