题目内容
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点．（1）求证：平面AFC⊥平面BDEF；
（2）求证：平面BDGH∥平面AEF．
考点：平面与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面AFC⊥平面BDEF
（2）根据面面平行的判定定理即可证明平面BDGH∥平面AEF
（2）根据面面平行的判定定理即可证明平面BDGH∥平面AEF
解答：
解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
又因为平面BDEF⊥平面ABCD，
平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF．
又AC?平面ACF，所以平面AFC⊥平面BDEF（6分）
（2）证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，
所以GH∥平面AEF．
设AC∩BD=0，连接OH，
在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，
所以OH∥AF，
又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，
所以OH∥平面AEF．
又因为OH∩GH=H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF．
所以AC⊥BD．
又因为平面BDEF⊥平面ABCD，
平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF．
又AC?平面ACF，所以平面AFC⊥平面BDEF（6分）
（2）证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，
所以GH∥平面AEF．
设AC∩BD=0，连接OH，
在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，
所以OH∥AF，
又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，
所以OH∥平面AEF．
又因为OH∩GH=H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF．
点评：本题主要考查线面平行和面面垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．
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