Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a²-a）lnx-x（a≤

1

2

）．
（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）对?x＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先通过f（x）在2处取得极值求出a，然后对f（x）求导，得到x=1处的导数，从而得到切线斜率；
（2）令f′（x）=0，讨论a的范围；
（3）整理f（x）＞g（x），分离a与x，构造h（x）=

x2

2lnx

，通过求导求h（x）的最小值，只要3a²-a＜h（x）_min即可．

解答： 解：（1）由f′（x）=x-

a(a-1)

x

-1，f′（2）=0，得a=-1或a=2（舍去）．
经检验当a=-1时，函数f（x）在2处取得极值．
a=-1时，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，
f′（x）=x-

2

x

-1，f（1）=-

1

2

，f′（1）=-2，
∴所求的切线方程为y+

1

2

=-2（x-1），整理得4x+2y-3=0．
（2）f′（x）=x-

a2-a

x

-1=

x2-x-(a2-a)

x

=

(x-a)(x+a-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=a，或x=1-a．
a≤

1

2

时，a≤1-a，且1-a＞0．
①当a=

1

2

时，a=1-a=

1

2

＞0，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上递增；
②当a≤0时，f（x）在（0，1-a）是单调递减；
在（1-a，+∞）上单调递增；
③当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，a）（1-a，+∞）上单调递增，在（a，1-a）上单调递减．

（3）由题意，

1

2

x2-(a2-a)lnx-x＞a2lnx2-x，即

1

2

x2-(a2-a)lnx＞2a2•lnx，即3a2-a＜

x2

2lnx

对任意?x＞1恒成立，
令h（x）=

x2

2lnx

，则h′（x）=

x(2lnx-1)

2ln2x

．
令h′（x）=0，得x=

e

，
当x∈（1，

e

）时，h（x）单调递减．
当x∈（

e

，+∞）时，h（x）单调递增，
∴当x=

e

时，h（x）取得最小值h（

e

）=e，
∴3a²-a＜e，
解得

1- 1+12e

6

＜a＜

1+ 1+12e

6

，
又∵a≤

1

2

，
∴

1- 1+12e

6

＜a≤

1

2

．

点评：本题考查了导数的运用，利用导数求切线方程，求函数的单调区间以及恒成立问题．