已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a(a≠0)，a_n+1=rS_n(n∈N*，r∈R，r≠-1)，
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若存在k∈N*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N*。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a=1时，若设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N*，证明：T_n＜2。

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，设数列{b_n}的前n项和为S_n，令T_n=S_2n-S_n。
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：T_n+1>T_n（n∈N*）。

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
(1)若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n(n≥2)，且b₁=1，b₂=2，
①记c_n=a_6n-1(n≥1)，求证：数列{c_n}为等差数列；
②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件。

已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)= xf(y)+yf(x)成立。数列{a_n}满足a_n=f(2ⁿ)(n∈N*)，且a₁=2，则数列的通项公式为a_n=（    ）。

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-4n+4，
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：≤T_n＜1。

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0(n≥2，n∈N)，
(1)写出a₂，a₃的值(只写结果)并求出数列{a_n}的通项公式；
(2)设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+＞b_n恒成立，求实数t的取值范围。

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁=1，S₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n∈N*且n≥2），求该数列的通项公式。

设数列{a_n}的首项a₁∈（0，1），a_n=，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n，证明b_n＜b_n+1，其中n为正整数。

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^a-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^a-2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列。