Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
(1)若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n(n≥2)，且b₁=1，b₂=2，
①记c_n=a_6n-1(n≥1)，求证：数列{c_n}为等差数列；
②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件。

Answer 1

解：(1)当n≥2时，


，
又因为a₁=1也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为。
(2)①因为对任意的n∈N*，可得b_n，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．
数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，，
所以

，
所以数列{c_n}为等差数列。
②设(k≥0)(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以
，
所以数列(k∈N，i∈{1，2，3，4，5，6})均为以7为公差的等差数列，
设(其中n=6k+i(k≥0)，i∈{1，2，3 ，4，5 ，6})，
当时，对任意的n=6k+i有；
当时，

，
若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调减数列；
若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调增数列；
综上：设集合，
当a₁∈B时，数列中必有某数重复出现无数次；
当a₁B时，(i=1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，
所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，
故所求a₁应满足的条件为。