Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N*。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a=1时，若设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N*，证明：T_n＜2。

Answer 1

解：（1）由
得
两式相减得

即
∴
即
故数列{a_n+1}是从第2项起，以a₂+1为首项，2为公比的等比数列，
又S₂=2S₁+1+1，a₁=a，
∴a₂=a+2，
故a_n=（a+3）·
又a₁=a不满足
∴。
（2）由a₁=a=1得a_n=2ⁿ-1（n∈N*），则

∴
从而

①-②得

故
∴。