设A、B两地相距30千米(如图)，在它们之间铺设一条铁路，A、B两地到x轴的距离为5千米，由于地质条件不同，在y＞0地质铺设费用为10⁵元/千米，而y＜0地质为6×10⁴元/千米．求最经济的铺设线路．

将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段变成圆形一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积．

抛物线的光学性质如下：位于焦点F的光源所射出的光线FP，经抛物线(在实际问题中是旋转抛物线面)上的任意一点p(x₀，y₀)反射后，反射光线PM与抛物线的轴平行(如图)．试用所学知识证明这一结论．

某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的费用为1 600元，年保管费用率为10％(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用为6 000元，则＝10％为年保管费用率)，问每次订购多少台电脑，才能使订购费用及保管费用之和最小？

为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)？

如图所示，圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于在河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

已知两个函数f(x)＝8x²＋16x－k，g(x)＝2x³＋5x²＋4x，其中k为实数．

(1)对任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

(2)对任意的x₁∈[－3，3]，x₂∈[－3，3]，都有f(x₁)≤g(x₂)，求k的取值范围．

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．