Question

抛物线的光学性质如下：位于焦点F的光源所射出的光线FP，经抛物线(在实际问题中是旋转抛物线面)上的任意一点p(x₀，y₀)反射后，反射光线PM与抛物线的轴平行(如图)．试用所学知识证明这一结论．

Answer 1

答案：
解析：

导思：将物理知识、代数知识、几何知识相结合． 　　探究：根据光学中的反射原理，光线的反射角等于入射角，在图1－4－3中，设PT是抛物线在点P处的切线(T为切线与y轴的交点)，PH⊥PT，则有∠MPH＝∠FPH．要证明反射线PM平行于对称轴(y轴)，只需证∠FTP＝∠MPN即可． 　　设抛物线方程为y＝ax2(a＞0)，又因为＝2ax， 　　所以切线PN的斜率为2ax0，于是切线PN的方程为y－y0＝2ax0(x－x0)． 　　令x＝0，得y＝y0－2ax02＝－y0． 　　则FT＝y0＋． 　　所以有PF＝FT，从而∠FTP＝∠FPT． 　　又因为∠FPT＝∠MPN， 　　所以∠FTP＝∠MPN． 　　故MP平行于y轴，这就证明了抛物线的光学性质．