Question

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当a＝时，f(x)＝． 　　x∈[1，＋∞)，由(x)＝． 　　当x∈[1，＋∞)时，(x)＞0，∴函数f(x)是增函数． 　　∴当x＝1时，f(x)的最小值为． 　　(2)对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，∴x2＋2x＋a＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立．设g(x)＝x2＋2x＋a，则 　　(x)＝2x＋2，当x∈[1，＋∞)时，(x)＞0． 　　∴函数g(x)是增函数．∴当x＝1时，g(x)取最小值3＋a． 　　由题意3＋a＞0，∴a＞－3． 　　思路分析：本题主要考查用导数求最值的方法，在非闭区间上求最值，利用单调性即可．