Question

如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于在河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：根据题意知只有点C在线段AD上某一适当位置才能使总运费最省．设C点距D点x km，则 　　∵BD＝40，AC＝50－x， 　　∴BC＝． 　　又设总的水管费用为y元，依题意有 　　y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)． 　　＝，令＝0，解得x＝30． 　　在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)． 　　∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处可使水管费用最省． 　　方法二：设∠BCD＝，则BC＝，CD＝40·cot(0＜＜)， 　　∴AC＝50－40·cot． 　　设总的水管费用为f()，依题意，有 　　f()＝3a(50－40·cot)＋5a· 　　＝150a＋40a· 　　∴()＝40a·． 　　令()＝0，得cos＝． 　　根据问题的实际意义，当cos＝时，函数取得最小值，此时sin＝．∴cot＝． 　　∴AC＝50－40cot＝20(km)， 　　即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处可使水管费用最省． 　　思路分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形特征合理选择这些条件间的联系方式，适当选择变元，构建相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．

提示：

本题除正确掌握用导数解实际应用题的方法和步骤外，还应有运用与三角函数结合的能力．