Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和为S_n，对任意的n≥2（n∈N^*），3S_n-4，a_n，2-

3

2

Sn-1总成等差数列．
（1）求a₂，a₃，a₄的值并猜想数列{a_n}的通项公式a_n
（2）证明：

n

i=1

|ai|＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知可得，2a_n=3S_n-2-

3

2

Sn-1，当n≥2时，2a_n+1=3S_n+1-2-

3

2

S_n，两式相减可得a_n与a_n+1的递推公式，结合等比数列的通项公式可求通项公式a_n．
（2）表示才数列的前n项和，通过等比数列求和，推出结果即可．

解答： 解：（1）a₁=1，∵当n≥2时，3S_n-4，a_n，2-

3

2

Sn-1总成等差数列，
∴2a_n=3S_n-

3

2

s_n-1-2．
再由a₁=1，令n=2可得 2a₂ =3s₂-

3

2

a₁-2，即 2a_n=3（1+a₂ ）-

3

2

-2，解得 a₂=

1

2

．
令n=3 可得2a₃=3S₃-

3

2

S₂-2，即 2a₃=3（1+

1

2

+a₃）-

3

2

（1+

1

2

）-2，解得  a₃=-

1

4

．
同理，令n=4，可求得 a₄=

1

8

?．
∴a2=

1

2

，a3=-

1

4

，a4=

1

8

∵当n≥2时，2a_n+2=3s_n-

3

2

s_n-1，∴2a_n+1+2=3s_n+1-

3

2

s_n．
两式相减，得2a_n+1 -2a_n=3a_n+1-

3

2

a_n，即

an+1

an

=-

1

2

，
∴a₂，a₃，…a_n，…成等比数列，故an=

1，(n=1) (-1)n×21-n，(n≥2)

．----（8分）
（2）∵

n

i=1

|ai|=|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|
=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+21-n
=

1(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2------（12分）

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，递推数列的关系，等比数列前n项和，属于中档题．