Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*都有S_n+

1

2

an=

1

2

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用“a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等比数列的通项公式即可得出；求通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（II）由于a_n=(

1

3

)n，可得log₃a_n=log3(

1

3

)n=-n．利用等差数列的前n项和公式可得

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n+

1

2

an=

1

2

，∴当n=1时，S1+

1

2

a1=

1

2

，∴a₁=

1

3

．
当n≥2时，Sn-1+

1

2

an-1=

1

2

，∴a_n+

1

2

an-

1

2

an-1=0，∴an=

1

3

an-1．
∴数列{a_n}是等比数列，∴a_n=(

1

3

)n．
（II）∵a_n=(

1

3

)n，∴log₃a_n=log3(

1

3

)n=-n．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{

1

bn

}的前n项和=-2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=-2(1-

1

n+1

)
=

-2n

n+1

．

点评：本题考查了利用“a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式、“裂项求和”、等比数列与等差数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．