Question

已知函数f（x）=cos²x+asinx-a²+2a+5
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）有最大值2，试求实数a的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）由a=1，化简可得f（x）=-sin²x+sinx+7，从而解得f（x）≤

29

4

；
（2）y=-sin²x+asinx-a²+2a+6，令sinx=t，t∈[-1，1]，有y=-t²+at-a²+2a+6，对称轴为t=

a

2

，讨论即可求得a的值．

解答： 解：（1）∵a=1
∴f（x）=-sin²x+asinx-a²+2a+6=-sin²x+sinx+7
∴可解得：f（x）≤

29

4

（2）y=-sin²x+asinx-a²+2a+6，令sinx=t，t∈[-1，1]
y=-t²+at-a²+2a+6，对称轴为t=

a

2

，
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递减区间，y_max=y|_t=-1=-a²+a+5=2
得a²-a-3=0，a=

1± 13

2

，与a＜-2矛盾；
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递增区间，y_max=y|_t=1=-a²+3a+5=2
得a²-3a-3=0，a=

3± 21

2

，而a＞2，即a=

3+ 21

2

；
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，y_max=y|t=

a

2

=-

3

4

a²+2a+6=2
得3a²-8a-16=0，a=4，或-

4

3

，而-2≤a≤2，即a=-

4

3

；
∴a=-

4

3

，或

3+ 21

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，一元二次函数的性质的应用，属于基本知识的考查．