Question

2．（1）已知tan（π+α）=3，求（sinα+cosα）²+$\frac{4sinα-2cosα}{cosα+3sinα}$的值；
（2）已知cos（$\frac{π}{6}$-θ）=a（|a|≤1），求cos（$\frac{5π}{6}$+θ）和sin（$\frac{2π}{3}$-θ）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得tanα=3，α为第一或第三象限角，分类讨论，求得sinα、cosα、tanα的值，可得要求式子的值．
（2）由题意利用诱导公式，求得cos（$\frac{5π}{6}$+θ）和sin（$\frac{2π}{3}$-θ）的值．

解答 解：（1）∵已知tan（π+α）=3=tanα，∴α为第一或第三象限角．
若α为第一象限角，由$\frac{sinα}{cosα}$=3，sin²α+cos²α=1，可得sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴（sinα+cosα）²+$\frac{4sinα-2cosα}{cosα+3sinα}$=1+2sinαcosα+$\frac{4tanα-2}{1+3tanα}$=1+2•$\frac{3\sqrt{10}}{10}•\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{12-2}{1+9}$=$\frac{13}{5}$．
若α为第三象限角，由$\frac{sinα}{cosα}$=3，sin²α+cos²α=1，可得sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴（sinα+cosα）²+$\frac{4sinα-2cosα}{cosα+3sinα}$=1+2sinαcosα+$\frac{4tanα-2}{1+3tanα}$=1+2•（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）•（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）+$\frac{12-2}{1+9}$=$\frac{13}{5}$．
综上可得，（sinα+cosα）²+$\frac{4sinα-2cosα}{cosα+3sinα}$=$\frac{13}{5}$．
（2）∵已知cos（$\frac{π}{6}$-θ）=a（|a|≤1），∴cos（$\frac{5π}{6}$+θ）=cos[π-（$\frac{π}{6}$-θ）]=-cos（$\frac{π}{6}$-θ）=-a；
∴sin（$\frac{2π}{3}$-θ）=sin[$\frac{π}{2}$+（$\frac{π}{6}$-θ）]=cos（$\frac{π}{6}$-θ）=a．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．