Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，斜率为k的直线l与椭圆相交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=2，证明直线l过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：b=1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k₁+k₂=$\frac{2k}{n+1}$=2，即可求得n=k-1，则直线l的方程y=k（x+1）-1，直线l恒过定点（-1，-1）．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：b=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则a²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程y=kx+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
∴△=（4kn）²-4（1+2k²）（2n²-2）＞0，则2k²-n²+1＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2kn}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{x}_{2}（{y}_{1}-1）+{x}_{1}（{y}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}（k{x}_{1}+n-1）+{x}_{1}（k{x}_{2}+n-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（n-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{2k×\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}-（n-1）×\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}}{\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$，
=$\frac{2k（2{n}^{2}-2）-4kn（n-1）}{2{n}^{2}-2}$，
=$\frac{2k（n-1）}{{n}^{2}-1}$，
当n=1时，直线y=kx+1，过定点（0，1），不符合题意，
若n≠1时，则k₁+k₂=$\frac{2k}{n+1}$=2，则n=k-1，
直线l的方程y=k（x+1）-1，
则直线l恒过定点（-1，-1）．
∴当k₁+k₂=2，证明直线l过定点（-1，-1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．