Question

17．已知椭圆C的两焦点为F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求此椭圆C的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{DQ}$|．求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆方程，由c=2$\sqrt{2}$，根据椭圆的离心率公式求得a=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=4，即可求得椭圆方程；
（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求及韦达定理和中点坐标公式，进行计算，求出实数t的取值范围．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2$\sqrt{2}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．则a=2$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由D（0，-2），M（0，t）
①当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t，
则满足题意的t的取值范围为-2＜t＜2，
②当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-12}{1+3{k}^{2}}$，
PQ中点H（x₀，y₀），
则H的横坐标x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3kt}{1+3k}$，
纵坐标y₀=x₀+t=$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$，
D点的坐标为（0，-2）
由|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{DQ}$|．得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即$\frac{\frac{t}{1+3{k}^{2}}+2}{-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}-0}$=-$\frac{1}{k}$，即t=1+3k²．∴k²＞0，∴t＞1．
∴0＜t＜4，1＜t＜4．
综上所述，-2＜t＜4．
实数t的取值范围（-2，4）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的标准方程问题．涉及直线与椭圆的位置关系，以及熟练运用韦达定理的方法．属于中档题．