Question

19．点P是曲线ρ=2（0≤θ≤π）上的动点，A（2，0），AP的中点为Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C上点M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （I）曲线ρ=2（0≤θ≤π）化为：x²+y²=4（0≤y≤2），设Q（x，y），则P（2x-2，2y），代入半圆的方程即可得出．
（II）由（I）可得：设切线的倾斜角为θ．C上点M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，可得$-\sqrt{3}$≤tanθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而得出．

解答 解：（I）曲线ρ=2（0≤θ≤π）化为：x²+y²=4（0≤y≤2），设Q（x，y），则P（2x-2，2y），
代入半圆的方程为：（2x-2）²+（2y）²=4，化为（x-1）²+y²=1，（0≤y≤1）．
（II）由（I）可得：
设切线的倾斜角为θ．
∵C上点M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
∴$-\sqrt{3}$≤tanθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴120°≤θ≤150°，
设D为切点，∠DCA=α，
则30°≤α≤60°，
取CD的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），$y=\sqrt{3}$（x-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得x=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$．
∴点M横坐标的取值范围是$[\frac{3}{2}，1+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、圆的方程、斜率的意义、圆的切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．