Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1两焦点为F₁和F₂，P为椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b以c的值，即可得|F₁F₂|的值；进而在在△PF₁F₂中，由余弦定理可得关系式|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos 60°，代入数据变形可得4=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁||PF₂|，结合椭圆的定义可得4=16-3|PF₁||PF₂|，即可得|PF₁||PF₂|=4，由正弦定理计算可得答案．

解答 解：由$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1可知，已知椭圆的焦点在x轴上，且$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴c$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，∴|F₁F₂|=2c=2，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos 60°
=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|，即4=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁||PF₂|，
由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a=2×2=4，
∴4=16-3|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=4，
∴${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|•sin 60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的性质，涉及余弦定理的应用，掌握椭圆的定义以及标准方程并灵活运用是解题的关键．