Question

若满足不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

的x的值满足不等式x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：运用绝对值不等式的解集，化简可得2a≤x≤a²+1，可令f（x）=x²-3（a+1）x+2（3a+1），由题意可得，f（2a）≤0，且f（a²+1）≤0，运用因式分解和二次不等式的解法，即可得到取值范围．

解答： 解：不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

即为

(a+1)2

2

-

(a-1)2

2

≤x≤

(a+1)2

2

+

(a-1)2

2

即有2a≤x≤a²+1，
可令f（x）=x²-3（a+1）x+2（3a+1），
即f（x）=（x-2）（x-（3a+1）），
由题意可得，f（2a）≤0，且f（a²+1）≤0，
即有2（a-1）（-a-1）≤0且（a²-1）（a²-3a）≤0，
即有

a≥1或a≤-1 a(a-1)(a+1)(a-3)≤0

即为

a≥1 a-3≤0

或

a≤-1 a∈∅

，
即有1≤a≤3．
则a的取值范围为[1，3]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查二次不等式和高次不等式的解法，考查函数的性质及应用，考查运算能力，属于中档题和易错题．