Question

10．已知椭圆或双曲线的两个焦点为F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），P是此曲线上的一点，且PF₁⊥PF₂，PF₁•PF₂=2，求该曲线的方程．

Answer 1

分析 由题意可知设PF₁=m，PF₂=n，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{mn=2}\end{array}\right.$，分曲线为椭圆时，求得m+n=2$\sqrt{6}$，2a=2$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{5}$，b²=a²-c²，求得b²，即可求得椭圆方程，当曲线为双曲线时，求得m-n=4，2a=4，c=$\sqrt{5}$，b²=c²-a²，求得b²，即可求得双曲线方程．

解答 解：PF₁=m，PF₂=n，若是椭圆，方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{mn=2}\end{array}\right.$，
解得m+n=2$\sqrt{6}$，2a=2$\sqrt{6}$，a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{5}$，
b²=a²-c²，b²=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}=1$，
若是双曲线，方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，m＞n，
则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{mn=2}\end{array}\right.$，解得m-n=4，2a=4，a=2，c=$\sqrt{5}$，
b²=c²-a²，b²=1
∴$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
综上，方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}=1$或$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程及简单性质，考察对圆锥曲线基础知识的考查，属于基础题．