Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC₁⊥平面ABC，BC=CA=AC₁．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BC∥B₁C₁，AC⊥B₁C₁，AC₁⊥ACC，由此能证明AC⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）分别取BB₁，CC₁的中点M、N，连结AM，MN，AN，则∠AMN为二面角A₁-BB₁-C的平面角，由此能求出二面角A₁-BB₁-C的余弦．

解答 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以BC∥B₁C₁．
又因为∠ACB=90°，所以AC⊥B₁C₁，（3分）
因为AC₁⊥平面ABC，所以AC₁⊥ACC，（6分）
因为AC₁∩B₁C₁=C₁，
所以AC⊥平面AB₁C₁．（7分）
解：（Ⅱ）因为点A₁在平面A₁ABB₁内，故只需求A-BB₁-C的二面角．
分别取BB₁，CC₁的中点M、N，连结AM，MN，AN，
所以AM⊥BB₁．因为AC₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，
所以BC⊥CC₁，即平行四边形BCC₁B₁为矩形，
所以MN⊥BB₁，所以∠AMN为二面角的平面角．（11分）
设BC=CA=AC₁=1，则AB=AB₁=BB₁=$\sqrt{2}$，
所以AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，MN=1，AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由余弦定理得，cos∠AMN=$\frac{\frac{6}{4}+\frac{2}{4}-1}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以二面角A₁-BB₁-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（15分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．