已知数列{an}的前n项和为Sn.若an=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$(n∈N*).则S2009的值为$\sqrt{2009}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$（n∈N^*），则S₂₀₀₉的值为$\sqrt{2009}$．

分析由题意得，将通项公式分母有理化化简得到a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，即可求出S_n．

解答解：由题意得，a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n∈N^*），
所以S₂₀₀₉=a₁+a₂+…+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=（1-0）+（$\sqrt{2}-1$）+…+（$\sqrt{2007}-\sqrt{2006}$）+（$\sqrt{2008}-\sqrt{2007}$）+（$\sqrt{2009}-\sqrt{2008}$）=$\sqrt{2009}$，
故S₂₀₀₉=$\sqrt{2009}$．

点评本题难度中档，关键在于学生会分母有理化变形，能观察联想到裂项相消求和的思想．

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