Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）若E为棱DD₁上的点，试确定点E的位置，使平面A₁C₁E∥B₁D；
（Ⅱ）若M为A₁B上的一动点，求证：DM∥平面D₁B₁C．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）当E为棱DD₁上的中点时，平面A₁C₁E∥B₁D；连接A₁C₁，与D₁B₁相交于O，连接OE，得到OE∥B₁D，根据线面平行的判定定理可证；
（Ⅱ）连接A₁D，BD，只要证明平面A₁BD∥平面D₁B₁C．再由面面平行的性质可得所证．

解答： 解：（Ⅰ）当E为棱DD₁上的中点时，平面A₁C₁E∥B₁D；如图，

连接A₁C₁，与D₁B₁相交于O，E为DD₁上的中点，连接OE，得到OE∥B₁D，
OE?平面A₁C₁E，B₁D，?平面 A₁C₁E，
∴B₁D∥平面A₁C₁E；
（Ⅱ）连接A₁D，BD，因为几何体为正方体，如图，
所以A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，
所以平面A₁BD∥平面D₁B₁C．
DM?∥平面DA₁BD．
所以DM∥平面D₁B₁C．

点评：本题考查了正方体为载体的空间线面平行的判定，关键是将线面平行转化为线线平行解答．